Dürer, Dürer, Fürer do Querer

Hoje minha sobrinha Ana Terra está de aniversário, 38 anos. Ia dar-lhe de presente um três oitão, mas não acho oportuno (ver nota 1). E ia começar a homenageá-la com um poema inconcluso (de minha autoria) que está também homenageando o pintor Albrecht Dürer (*1471; +1528).  Ainda assim mantive-me no intento de presenteá-la. Ana Terra gosta de sudoku, Dürer gostava de quadrados mágicos (o que segue tenho-o visto atribuído a ele, constando de um quadro) e eu gosto de... digitação.

(Notate bene: todas as linhas e todas as colunas e as duas diagonais somam 34)

Como sabemos, os quadrados mágicos são... mágicos. E tem o famoso "sator arepo tenet opera rotas" (uma das traduções aventadas pela Wikipedia é: "Agricultor sábio (destreza) mantém a rotação de culturas". E tem muitas outras mais traduções do latim ao português. E tá aqui um meio que original:

(Notate bene: a frase pode ser lida ao longo das linhas, das colunas e espelhadas)

Pois o presente para a Ana ainda não começou. Ana e Albrecht têm em comum olhar para este tipo de manifestação do cérebro humano e não sei quanto cada um sabia das tantas sutilezas que existem por trás de praticamente cada cálculo que a gente faz. O presente: dias atrás citei o livro

CRILLY, Tony (2011) 50 Cosas que Hay que Saber sobre Matemáticas. Buenos Aires: Ariel.

E agora volto a ele, nas páginas 174-175, transcrevendo o que segue (talvez em portunhol devido a erro de digitação);

El cuadrado de Lo Shu

Como los cuadrados de 2x2 no existen [nota 2)], examinaremos secuencias de 3x3 e intentaremos construir una con una cuadrícula. Empezaremos con un cuadrado mágico normal, uno cuya cuadrícula se rellena con los números consecutivos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

En el caso de un cuadrado tan pequeño es posible construir un cuadrado mágico de 3x3 por el método de 'prueba y error', pero primero podemos hacer algunas deduciones para que nos ayuden en el processo. Si sumamos todos los números de la cuadrícula, tenemos

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

y este total tendría que ser igual a la suma de los totales de 3 filas. Esto muestra que cada fila (y cada columna, y cada diagonal) ha de sumar 15. Ahora fijémonos en la celda central: llamaremos a esta de c. Dos diagonales implican a c, así como lo hace la fila central y la columna central. Si sumamos los números de estas cuatro líneas obtenemos 15 + 15 + 15 + 15 = 60 y esto debe ser igual a todos los números sumados más 3 veces c. A partir de la ecuación 3c + 45 = 60, vemos que c há de ser 5. También se pueden aprender otros hechos, como que no se puede poner un 1 en una celda de esquina. Una vez que hemos reunido algunas pistas, ya estamos en una buena situación para usar el método de prueba y error. !Intente-lo!

Naturalmente, nos gustaria tener un método totalmente sistemático para construir cuadrados mágicos. Uno lo encontró Simon de la Loubère. Loubère se interessó por las matemáticas chinas y escribió un método para construir cuadrados mágicos que tienen un número impar de filas y colunmas. Este método empieza poniento un 1 en el centro de la primera fila y subiendo, cruzando y girando si es necessario para colocar el 2 y los números posteriores. Si está bloqueado, se usa el siguiente número que esté por debajo del número actual.

Surprendentemente, este cuadrado mágico normal es fundamentalmente el único que tiene 3 filas y 3 columnas. Todos los demás cuadrados mágicos de 3x3 se pueden obtener a partir de éste rotando los números en torno al centro y/o reflejando los números del cuadrado en la columna central o la fila central. Se denomina 'cuadrado de Lo Shu' y era conocido en China en torno al 3.000 a.C.

[...]

A disposição do número 5 na casa central resulta de um princípio importante para os jogos de tabuleiro: o controle do centro é estratégico. Da mesma forma, foi estratégico meu encaminhamento para o presente da sobrinha: na pandemia, seria difícil abraçá-la e entregar-lhe qualquer objeto material.

DdAB

(1) Com essa encrenca de podermos adquirir -cada um- seis armas de fogo, imaginei que vou ter que comprar: se os ladrões voltarem a minha casa, vão indagar onde estão as armas que o presidente Bolsonaro mandou comprar. Se eu disser que não tenho, os amigos do alheio não vão acreditar e vasculharão toda a casa e mesmo os pontos frágeis de meu pobre corpo, tentando achar o arsenal da família. Aquela ideia do três oitão seria apenas para me livrar de uma daquele sexteto.

(2) Um quadrado mágico não tem nenhum valor repetido. Além disso, ele não pode ser de 2x2, ou seja, duas linhas e duas colunas, conforme ilustra nosso autor. Vejamos por quê. Aqui tá o quadrado 2x2 (feito por mim no Excel) com as letras a, b, c e d de Crilly que deveriam ser diferentes umas das outras:

Para ser um quadrado mágico, todas as linhas, colunas e diagonais devem ter o mesmo valor. Então teríamos a + b = a + c, ou seja, eliminando a fica patente que b = c, o que não pode, o que expulsa o 2x2 do conjunto de quadrados mágicos.