Um Delírio Matemático: é 8 ou 80?

 

É 8 ou 80? (Pela ABNT, eu deveria indagar: "é oito ou 80?", seguindo a regra "zero a nove é numeral; 10 em diante é número". E pelas editoras de meus livros, temos: "zero a dez; 11 e mais". Um delírio).

Mas falo do delírio sobre o delírio, o meta-delírio. É fato inegável que, desde tempos imemoriais, ou melhor, memoriais, com Buda e Aristóteles, "a virtude está no meio", caracterizando uma abordagem qualitativa: meio de quê?, qual meio? o 44?

Naturalmente esse 8 ou 80 determina o tratamento do intervalo da moderação com a abordagem quantitativa, dando-nos a amplitude de 72. É um baita intervalo de variação. Digamos que estivéssemos falando em idade: um menino de 8 anos e um ancião de 80: a distância entre suas idades,  sendo de 72 anos mostra dois mundos, mais duas ou três gerações. E dá para baixar a magnitude desse intervalo? Dá, levando-nos ao caminho da estatística, com a média e a variância (e o filhote da variância, o desvio padrão).

Como sabemos, aquele 44 é a média aritmética não-ponderada entre o 8 e o 80: (8 + 80)/2. E se fosse média aritmética ponderada? Iria abrir-se para nós o mundo da escolha da ponderação. Por exemplo, 8 pesa 90%, ficando os restantes 10% para o 80, dando-nos a média de 15,8. Ou seja, um puxão enorme naqueles 44 para o lado do 8. Quer puxar para o 80? Digamos agora uma ponderação de 85 para o altão e 15 para o baixinho: 0,85x80 + 0,15 x 8 = 69,2. Com essas ponderações (0,85 e 0,15), o altão levou o baixinho para cima, com o resultado ficando acima daqueles 44 da média aritmética simples.

Mas a estatística nos fornece algum meio de delimitar essa ponderação, desde que assim entendamos o cálculo da variância e seu parente, o desvio-padrão. E como se determina o desvio-padrão? Já o temos: a média de 44 que referimos anteriormente. Mas vejamos um passo-a-passo destinado a mostrar-nos a variância da série 8 e 80:

Calcula-se a média: (8 + 80)/2

Calcula-se o desvio de cada observação com relação à média: 

8 - 44 = -36

80 - 44 = 36

Se somarmos as duas observações, teremos um zerão dos diabos: -36 + 36 = 0. Aliás, em qualquer conjunto numérico, a soma dos desvios da média é mesmo zero. E que fazemos com esse zero, a fim de chegar à variância? Deixamo-lo (como diria algum blogueiro de colocação de pronomes portuguesa, by the way, a que me foi ensinada na escola) de lado e, antes da soma, elevamos ao quadrado esses desvios da média, despachando para o firmamento aquele zero:

(-36)^2 = 1.296

(36)^2 = 1.296

(-36)² + 36² = 1.296 x 1.296 = 2.592.

Estamos quase chegando lá na variância (lembrando que é a média dos quadrados dos desvios) e, de volta àqueles 1.296, pois o que temos que fazer é dividir a soma dos dois 1.296, chegando, claro, aos mesmos 1.296:

2.592/2 = 1.296

que é a variância que estamos procurando. Mas a interpretação de uma série de dados é meio difícil de comparar, inclusive porque ela não obedece a mesma escala de medida dos elementos da série. Por exemplo, falamos em quilos de melancia, toneladas de soja, cabeças de gado, litros de leite, e por aí vai Vivinha. Na variância temos essas unidades elevadas ao quadrado, (quilos de melancia)², (toneladas de soja)², etcétera. Então, para voltarmos às melancias, extraímos a raiz quadrada daqueles 1.296:

(1.296)¹/² = 50,9, 

mais alguns pinduricalhos menores que aquele 0,9, como podemos observar na imagem que nos ilustra lá em cima. Digamos, para "domesticar" a leitura, que arrendondemos aquele 50,9 para 51. Então chegamos a algo concreto para fazer a mediação entre 8 e 80. Uma pessoa não exagerada evita os extremos, ficando em 51, uma cifra bem menor que aquele 80 - 8 = 72 que usamos para introduzir o assunto.

E se agora fizermos aquelas diferenças com relação ao desvio padrão, temos

8 - 51 = -43

80 - 51 = 29

cuja soma, obviamente, não é zero. Ou seja, o desvio padrão, por mais charmoso que seja, não tem aquela propriedade da média. Mas ele serviu para reduzir a amplitude do intervalo de variação: aquilo que era 8 - 44 e 80 - 44 passou a ser 8 - 59 e 80 - 59, quer dizer -42 e 36 virou -51 e 21

e agora -36 e 36 

DdAB

P. S. (aprendi há milhares de anos que aquele "^2" do (-36)^2 vem da linguagem Fortran, já arcaica para dizer que o valor entre parênteses deve ser elevado ao quadrado;  mas meu teclado permitiria escrever (-36)² = 1.296. E aquele + 36? Também oferece os mesmos 1.296.

P.S.S. Esta postagem baseou-se no capítulo VII das Memórias Póstumas de Brás Cubas, um livro para ler e reler muitas vezes, que a cada leitura, chama-nos a nossos próprios delírios matemáticos ou não. E podemos encontrá-lo clicando aqui.